数字で見る 極限。 極限値とは(数学Ⅱ:収束と無限大への発散と不定形について)

極限って何? 〜極限のその先へ【数学まるかじり】

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グラフで極限は見える これまで多くの関数の極限について考えてきましたが、大きく分けて 2 つの方法がありました。 まずは 極限計算をとにかく工夫してみる ですね。 不定形を避けるのが僕たちの仕事なので、まずは変形を施してみるのでした。 方針はいろいろありますがひとまず不定形が避けられるように頑張るのでしたね。 もう一つは グラフで大まかに考えること でした。 ある程度予想はできるものが多いですが、 グラフと合わせて覚えるだけで覚える量がものすごく少なくなりますし、何より イメージがしやすくなります。 この 「グラフと一緒に考える方法」を使えば、今までやってきた関数の極限もわかりそうですよね。 なぜなら私たちはまだまだグラフを書ける関数を隠し持っているからです。 それは 指数 関数 対数 関数 三角 関数 ですね。 ですからこれらの極限も簡単にわかるはず。 今回はそのうち 指数関数と 対数関数について考えることにします。 三角関数は で解説しています。 グラフどんなのだっけ?という人はぜひこの記事 をみて復習しておくと良いでしょう。 では早速。 指数関数のグラフと極限 最初は指数関数です。 今回考えるのは次の極限たちです。 では、早速グラフ・・・に行く前に。 指数関数は 底の大きさ によってグラフは変化する のでした。 さて、グラフはかけたので早速極限を求めてみましょう。 値は発散します。 これは先ほどとは逆です。 このことは非常に重要で、指数関数の極限を考える場合は「2つ」見るところがあることを意味しています。 底によって関数自体の形は変わりますが、どちらにせよ 真数は必ずプラスです。 真数が大きくなればなるほど対数自体は大きくなります。 ゆっくりではありますが。 実際にグラフを書くと次のようになります。 先ほどとは逆の振る舞いになりますね。 最大の注意は 対数においてマイナス無限大に飛ばす極限は存在しないことです。 でもグラフと考えれば視覚的に覚えられるので難しくないですね。 対数関数の極限もやはり グラフをイメージして考える ことが重要になります。 まとめ ここで学んだことは基本的な関数の極限です。 後はこの知識を使って少し複雑に指数や対数が混ざった問題を解いていきます。 問題を解く方針は常にこの基本の極限から考えていきますのでじっくり読んで理解してみてください。 ではまた。

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指数・対数関数の極限と考え方

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グラフで極限は見える これまで多くの関数の極限について考えてきましたが、大きく分けて 2 つの方法がありました。 まずは 極限計算をとにかく工夫してみる ですね。 不定形を避けるのが僕たちの仕事なので、まずは変形を施してみるのでした。 方針はいろいろありますがひとまず不定形が避けられるように頑張るのでしたね。 もう一つは グラフで大まかに考えること でした。 ある程度予想はできるものが多いですが、 グラフと合わせて覚えるだけで覚える量がものすごく少なくなりますし、何より イメージがしやすくなります。 この 「グラフと一緒に考える方法」を使えば、今までやってきた関数の極限もわかりそうですよね。 なぜなら私たちはまだまだグラフを書ける関数を隠し持っているからです。 それは 指数 関数 対数 関数 三角 関数 ですね。 ですからこれらの極限も簡単にわかるはず。 今回はそのうち 指数関数と 対数関数について考えることにします。 三角関数は で解説しています。 グラフどんなのだっけ?という人はぜひこの記事 をみて復習しておくと良いでしょう。 では早速。 指数関数のグラフと極限 最初は指数関数です。 今回考えるのは次の極限たちです。 では、早速グラフ・・・に行く前に。 指数関数は 底の大きさ によってグラフは変化する のでした。 さて、グラフはかけたので早速極限を求めてみましょう。 値は発散します。 これは先ほどとは逆です。 このことは非常に重要で、指数関数の極限を考える場合は「2つ」見るところがあることを意味しています。 底によって関数自体の形は変わりますが、どちらにせよ 真数は必ずプラスです。 真数が大きくなればなるほど対数自体は大きくなります。 ゆっくりではありますが。 実際にグラフを書くと次のようになります。 先ほどとは逆の振る舞いになりますね。 最大の注意は 対数においてマイナス無限大に飛ばす極限は存在しないことです。 でもグラフと考えれば視覚的に覚えられるので難しくないですね。 対数関数の極限もやはり グラフをイメージして考える ことが重要になります。 まとめ ここで学んだことは基本的な関数の極限です。 後はこの知識を使って少し複雑に指数や対数が混ざった問題を解いていきます。 問題を解く方針は常にこの基本の極限から考えていきますのでじっくり読んで理解してみてください。 ではまた。

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【ドッカンバトル】『ナメック星人の突然変異』スラッグ[極限Z覚醒・極技]の性能と評価

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極限のいろいろ 限りなく続く現象を正しく認識することは大変難しいことです。 このことについて人間は その歴史の中で随分悩んできました。 その悩みを引き起こした最も有名な話が,紀元前にゼノンが提唱した逆説でしょう。 『ゼノンの逆説』より• 「アキレスは永遠に亀を追い越せない。 」 アキレスと亀が競走をする。 亀は遅いのでアキレスの前方から出発する。 アキレスが亀の出発地点まで行く間に,亀は少し前へ出ている。 前へ出た 亀の位置まで行く間に,亀はさらに少し前へ出る。 従って,アキレスは永遠に亀を追い越せない。 「飛んでいる矢は止まっている。 」 なぜなら,時間の一瞬には,矢は位置を変えない。 時間が一瞬の集まりなら,どの一瞬にも静止している矢は,その時間全体においても静止しているからである。 従って,飛んでいる矢は止まっている。 これらゼノンの逆説(パラドックス)は明らかにおかしいですが,どこがおかしいのかを明確に 答えられるようになったのは,何と18世紀ごろになって微分積分学が芽生え始めてからであり、人類はなんと千数百年間も悩み続けたのです。 さて,この逆説の中にあるように,「永遠に」とか「瞬間」といった概念を正しく理解するには,極限の概念をはっきりさせなければなりません。 そこで,ここでは極限や無限についてのいくつかの話題を展示しました。 ごゆっくりご鑑賞下さい。 【極限のいろいろ】 目次 「面積・体積の・・・」より 教員への専門的技術情報 【アニメーションの作成について】 方法1 《セル画》・・・・・・・・Mathematicaにより作成した。 《アニメーション化》・・・上記のセル画を、フリーソフトによりgifアニメ化した。 方法2 Flash によるアニメーション化.

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